फिबोनाची संख्याओं का क्या है भारतीय संबंध

एक्सएन = एक्सएन -1 + एक्सएन -2

फाइबोनैचि संख्याएं और रेखाएं

फाइबोनैचि संख्याओं का नाम इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची के नाम पर रखा गया है, जिन्हें लियोनार्डो पिसानो के नाम से भी जाना जाता है। 1202 में अपनी पुस्तक 'लिबर अबासी' में, फिबोनाची ने यूरोपीय गणितज्ञों के लिए अनुक्रम की शुरुआत की।

आज तकनीकी संकेतक बनाने के लिए फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग किया जाता है। संख्याओं का क्रम 0 और 1 से शुरू होता है। यह पिछली दो संख्याओं को जोड़कर बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144, 233, 377, आदि है। इस क्रम को अनुपातों में तोड़ा जा सकता है। 1.618 के सुनहरे अनुपात या प्रतिलोम 0.618 के नियम के कारण यह एक महत्वपूर्ण क्रम है। फिबोनाची के पिता एक व्यापारी थे और उन्होंने उनके साथ व्यापक यात्रा की। इससे उन्हें उत्तरी अफ्रीका में बड़े होने के दौरान हिंदू-अरबी अंकगणितीय प्रणाली के संपर्क में आने में मदद मिली। फाइबोनैचि अनुक्रम में, कोई भी संख्या पिछली संख्या से लगभग 1.618 गुना होती है जिससे पहले कुछ संख्याओं को अनदेखा कर दिया जाता है। प्रत्येक संख्या उसके दायीं ओर की संख्या का 0.618 भी है। यह अनुक्रम में पहले कुछ नंबरों को अनदेखा करके भी प्राप्त किया जाता है।

कृपया ध्यान दें कि सुनहरा अनुपात प्रकृति में अत्यंत अद्वितीय और महत्वपूर्ण है क्योंकि यह कोबाल्ट निओबेट क्रिस्टल में स्पिन करने के लिए नसों की संख्या से सब कुछ का वर्णन करता है।

फाइबोनैचि संख्याओं और रेखाओं के लिए सूत्र

फाइबोनैचि संख्याएं एक संख्या अनुक्रम के बारे में हैं जिनका एक दूसरे के साथ एक निश्चित संबंध है। हालांकि, कुछ विशेषज्ञों का मानना है कि नीचे बताए गए फॉर्मूले का भी इस्तेमाल किया फिबोनाची संख्याओं का क्या है भारतीय संबंध जा सकता है:

एक्सएन = एक्सएन -1 + एक्सएन -2

फाइबोनैचि संख्याएं और रेखाएं क्या बताती हैं?

कई व्यापारियों का मानना है कि फाइबोनैचि संख्याएं वित्त में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। वे व्यापारियों द्वारा उपयोग किए जाने वाले अनुपात और प्रतिशत में मदद करते हैं। ये प्रतिशत निम्नलिखित तकनीकों का उपयोग करके लागू किए जाते हैं:

1. फाइबोनैचि रिट्रेसमेंट

फाइबोनैचि रिट्रेसमेंट एक चार्ट पर क्षैतिज रेखाएं होती हैं, जो समर्थन और प्रतिरोध के क्षेत्रों को दर्शाती हैं।

2. फाइबोनैचि एक्सटेंशन

एक चार्ट पर क्षैतिज रेखाएं होती हैं जो दिखाती हैं कि एक मजबूत मूल्य लहर पहुंच सकती है।

3. फाइबोनैचि आर्क्स

फाइबोनैचि आर्क्स उच्च या निम्न से आने वाली कंपास जैसी गतियां हैं, जो समर्थन और प्रतिरोध के क्षेत्रों को दर्शाती हैं।

4. फाइबोनैचि प्रशंसक

ये विकर्ण रेखाएं हैं जो समर्थन और प्रतिरोध के उच्च और निम्न क्षेत्रों का उपयोग करती हैं।

5. फाइबोनैचि समय क्षेत्र

फाइबोनैचि समय क्षेत्र ऊर्ध्वाधर रेखाएं हैं जिन्हें भविष्यवाणी करने के लिए डिज़ाइन किया गया है कि कोई बड़ा मूल्य परिवर्तन या आंदोलन कब होगा।

अनुसंधान उपकरण के रूप में फाइबोनैचि संख्या और उनके मूल्य को समझना

फाइबोनैचि अध्ययन लोकप्रिय व्यापारिक उपकरण हैं। यह समझना कि उनका उपयोग कैसे किया जाता है और किस सीमा तक उन पर भरोसा किया जा सकता है, किसी भी व्यापारी के लिए महत्वपूर्ण है जो प्राचीन गणितज्ञ की वैज्ञानिक विरासत से लाभ उठाना चाहता है। हालांकि यह कोई रहस्य नहीं है कि कुछ व्यापारी निर्विवाद रूप से प्रमुख व्यापारिक निर्णय लेने के लिए फिबोनाची टूल पर भरोसा करते हैं, अन्य लोग फिबोनाची अध्ययनों को विदेशी वैज्ञानिक baubles के रूप में देखते हैं, इतने सारे व्यापारियों द्वारा तैयार किए गए हैं कि वे बाजार को भी प्रभावित कर सकते हैं। इस लेख में, हम यह जांचते हैं कि व्यापारियों के दिलों और दिमागों को जीतकर फिबोनाची अध्ययन बाजार की स्थिति को कैसे प्रभावित कर सकता है।

चाबी छीन लेना:

• फाइबोनैचि अध्ययन लोकप्रिय व्यापारिक उपकरण हैं जो निवेशकों द्वारा व्यापारिक निर्णय लेने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
• लियोनार्डो पिसानो फाइबोनैचि ने फाइबोनैचि संख्याओं और रेखाओं को विकसित करने के लिए नौ प्रतीकों और अन्य गणितीय कौशल की प्राचीन भारतीय प्रणाली को लागू किया।
• कुछ लोग मानते हैं कि फाइबोनैचि उपकरण 70% मामलों में बाजार व्यवहार की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी कर सकते हैं, जबकि अन्य विधि को बहुत अधिक समय लेने वाली और जटिल मानते हैं।

प्रसिद्ध इतालवी समझ

यह उनके पिता के साथ यात्रा के दौरान था कि इतालवीलियोनार्डो पिसानो फाइबोनैचि ने नौ प्रतीकों और अन्य गणितीय कौशलों की प्राचीन भारतीय प्रणाली को उठाया, जिससे फाइबोनैचि संख्याओं और रेखाओं का विकास होगा।

इतालवी के कार्यों में से एक, “लिबरे अबकी” (1202) में कुछ व्यावहारिक कार्य शामिल थे जो व्यापारी व्यापार, मूल्य गणना और अन्य समस्याओं से संबंधित थे जिन्हें उनकी रोजमर्रा की गतिविधियों के मामले में हल करने की आवश्यकता थी।

खरगोशों के प्रसार की क्षमता के बारे में एक राशि को हल करने के प्रयास ने उन संख्याओं की प्रणाली को जन्म दिया जिन्हें फाइबोनैचि आज के लिए जाना जाता है। एक क्रम जिसमें प्रत्येक संख्या दो संख्याओं का योग है जो कि पूर्ववर्ती है यह जीवन की कई घटनाओं और घटनाओं के पीछे प्रकृति का अंतर्निहित सिद्धांत है।

लियोनार्डो फाइबोनैचि ने ज्यामितीय निर्माणों के साथ अपने जीवन-प्रेरित सिद्धांत को भी लागू किया । यह उन अवधारणाओं का विवाह है जो व्यापारियों द्वारा उनके निवेश पर नकद में मदद करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

रहस्यपूर्ण विरासत

आइए हम पहले फाइबोनैचि संख्याओं के बारे में अधिक बारीकी से देखें। फाइबोनैचि अनुक्रम निम्नानुसार है:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…

यह क्रम एक निश्चित स्थिर, अपरिमेय अनुपात की ओर बढ़ता है। दूसरे शब्दों में, यह दशमलव संख्याओं के अंतहीन, अप्रत्याशित अनुक्रम के साथ एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। संक्षिप्तता के लिए, आइए इसे 1.618 के रूप में उद्धृत करें। वर्तमान में, अनुक्रम को अक्सर गोल्डन सेक्शन या गोल्डन एवरेज के रूप में जाना जाता है। बीजगणित में, यह आमतौर पर ग्रीक अक्षर Phi (Phi = 1.618) द्वारा इंगित किया जाता है।

अनुक्रम के असममित व्यवहार और तर्कहीन Phi संख्या के आसपास इसके अनुपात के लुप्त होती उतार-चढ़ाव को बेहतर ढंग से समझा जा सकता है यदि अनुक्रम के कई पहले सदस्यों के बीच संबंध दिखाए जाते हैं। निम्न उदाहरण पहले सदस्य की ओर दूसरे सदस्य के रिश्ते को दिखाता है, तीसरे सदस्य का संबंध दूसरे की ओर, और इसलिए:

1: 1 = 1.0000, जो 0.6180 के लिए फी से कम है

2: 1 = 2.0000, जो 0.3820 के लिए फी से अधिक है

3: 2 = 1.5000, जो 0.1180 के लिए फी से कम है

5: 3 = 1.6667, जो 0.0486 के लिए फी से अधिक है

8: 5 = 1.6000, जो फी 0.0180 से कम है

जैसे-जैसे फाइबोनैचि अनुक्रम आगे बढ़ता है, प्रत्येक नया सदस्य अगले एक को विभाजित करेगा, जो पहुंच से बाहर हो जाएगा और पहुंच से बाहर हो जाएगा। इलियट लहर सिद्धांत का उपयोग करते समय कम या अधिक मूल्य के लिए 1.618 के आसपास के अनुपात के उतार-चढ़ाव को भी देखा जा सकता है ।

कई मामलों में, यह माना जाता है कि मानव अवचेतन रूप से सुनहरे अनुपात की तलाश करता है । उदाहरण के लिए, व्यापारी अत्यधिक लंबी प्रवृत्तियों के साथ मनोवैज्ञानिक रूप से असहज हैं। चार्ट विश्लेषण प्रकृति के साथ बहुत आम है, जहां सुनहरे खंड पर आधारित चीजें सुंदर और सुडौल हैं, और ऐसी चीजें जो बदसूरत नहीं लगती हैं और संदिग्ध और अप्राकृतिक लगती हैं। यह, छोटे हिस्से में, यह समझाने में मदद करता है कि क्यों, जब सुनहरे खंड से दूरी बहुत अधिक लंबी हो जाती है, तो अनुचित रूप से लंबी प्रवृत्ति की भावना पैदा होती है।

फाइबोनैचि ट्रेडिंग उपकरण

पांच प्रकार के व्यापारिक उपकरण हैं जो फाइबोनैचि की खोज पर आधारित हैं: आर्क्स, प्रशंसक, रिट्रेसमेंट, एक्सटेंशन और टाइम ज़ोन । माना जाता है कि इन फाइबोनैचि अध्ययनों द्वारा बनाई गई लाइनें रुझानों में बदलाव का संकेत देती हैं क्योंकि कीमतें उनके पास आ जाती हैं।

यह काम किस प्रकार करता है

हालांकि, फाइबोनैचि अध्ययन व्यापारियों के लिए एक जादुई समाधान प्रदान नहीं करता है। बल्कि, वे अनिश्चितता को दूर करने के प्रयास में मानव मन द्वारा बनाए गए थे। इसलिए, उन्हें व्यापारिक निर्णयों के आधार के रूप में सेवा नहीं देनी चाहिए। अधिकतर, फिबोनाची अध्ययन तब काम करते हैं जब कोई वास्तविक बाजार-ड्राइविंग बल बाजार फिबोनाची संख्याओं का क्या है भारतीय संबंध में मौजूद नहीं होते हैं। यह स्पष्ट है कि मनोवैज्ञानिक आराम के स्तर और “फ्रेम” जो वे बनाते हैं, और जिसके माध्यम से अधिकांश व्यापारी अपने चार्ट को देखते हैं, उन परिस्थितियों में कारकों के निर्धारण फिबोनाची संख्याओं का क्या है भारतीय संबंध के लिए कोई मतलब नहीं है जब कीमतों में वृद्धि के लिए अधिक महत्वपूर्ण कारण हैं। या कमी मौजूद है।

जब व्यापारियों की एक बड़ी संख्या द्वारा उपयोग किया जाता है, तो फिबोनाची अध्ययन स्वयं बाजार को प्रभावित करने वाला एक प्रमुख कारक बन सकता है। ज्यादातर समय, फाइबोनैचि अध्ययन कैस्केड प्रभाव के कारण काम करते हैं, जो कि बड़ी संख्या में व्यापारियों द्वारा कृत्रिम रूप से समर्थन और प्रतिरोध स्तर बनाने के कारण उत्पन्न होता है।

बाजार एक जटिल प्रणाली है और आत्म-पूर्ण भविष्यवाणी के रूप में फाइबोनैचि अध्ययन की वास्तविक प्रकृति की प्राप्ति आपको अधिक कुशलता से साधनों का उपयोग करने में मदद करेगी। कैसे? बहुत ही सरल: यह उन उपकरणों पर किसी भी अधिक निर्भरता से बचने में मदद करेगा।

विशेष ध्यान

फाइबोनैचि पद्धति का उपयोग केवल अन्य विधियों के साथ संयोजन में किया जाना चाहिए, और प्राप्त परिणामों को निर्णय के पक्ष में सिर्फ एक और बिंदु माना जाना चाहिए, यदि वे संयोजन में अन्य विधियों द्वारा उत्पादित परिणामों के साथ मेल खाते हैं।

फिबोनाची नंबर(Fibonacci Numbers)भी हैं भारतीयों की देन, जानिए गणितज्ञ विरहंका से क्या है इनका संबंध

जिसमें आयुर्वेद की खोज, शून्य का आविष्कार, प्लास्टिक सर्जरी का सूत्रपात, गणितीय सिद्धांत जैसे, बाइनरी संख्याएं, दशमलव प्रणाली, अंक सूचनाएं आदि भारतीय समाज की ही देन हैं। इसी कड़ी में आज हम बात करेंगे गणित के फिबोनाची नंबर (Fibonacci Numbers) के बारे में… माना जाता है कि उपरोक्त नंबर की खोज भी भारतीय समाज में हुई थी।

जिसका सबसे पहले प्रयोग पिंगला ने अभियोदन में संस्कृत परंपरा के तौर पर किया था। इसके अलावा, गणितज्ञ विरहंका में भी इन संख्याओं को गठित करने की प्रक्रिया का वर्णन किया जा चुका है।

लेकिन बाद में इसे सत्यापित करने का श्रेय इटली के जाने माने गणितज्ञ फिबोनाची को दिया जाने लगा, जिन्होंने यूरोपीय गणित के तौर पर इन संख्याओं को प्रस्तुत किया था। हालांकि फिबोनाची भी इसे भारतीय गणित का ही हिस्सा मानते हैं।

तो फिर क्यों इन गणितज्ञ सूत्रों को फिबोनाची के नाम से जाना जाता है, हमारे आज के इस लेख में हम आपको यही बताएंगे। जिसके बाद आप जान पाएंगे कि इन फिबोनाची संख्याओं का संबंध भारतीय गणित से कैसे रहा है?

फिबोनाची नंबर क्या है? (What is Fibonacci Numbers)

सबसे पहले जान लेते हैं कि क्या है फिबोनाची संख्याएं। फिबोनाची संख्याओं की उत्पत्ति आज से करीब 200 ईसा पूर्व भारतीय गणित की लिपियों में हुई थी।

जबकि आधुनिक वैज्ञानिकों के अनुसार, लगभग 12वीं सदीं के दौरान इटली के पीसा शहर में रहने वाले महान गणितज्ञ लियोनार्डो पिसानो बोगोलो (फिबोनाची) ने फिबोनाची संख्याओं का सूत्रपात किया था। जिनके नाम पर ही इन संख्याओं का नाम फिबोनाची पड़ा।

फिबोनाची संख्याएं गणित की संख्याओं का वह क्रम कहलाती हैं, जोकि शून्य से आरंभ होती है और फिर आगे हर संख्या का जोड़ बनती चली जाती हैं।

जैसे..

उपरोक्त संख्याओं में देखें तो 0+1= 1, 1+1= 2, 1+2= 3, 2+3= 5, 3+5= 8, 5+8= 13, 13+21= 54 आदि।

फिबानोची संख्याओं में आगे वाली संख्या का पिछली संख्या से भाग करने पर 1.618 अनुपात प्राप्त होता है।

जैसे..

इसी तरह से जब पहले वाली संख्या को आगे वाली संख्या से भाग किया जाता है..तब

89/144= 0.618 जिसे प्रतिशत में 61.8% माना गया।

इसके अलावा, अगर पहले वाली संख्या को एक संख्या के बाद वाली संख्या से भाग किया जाए…तब

21/55= 0.382 जिसे प्रतिशत में 38.2% माना गया।

फिर अगर, पहले वाली संख्या को दो संख्या आगे से भाग किया जाए….तब

21/89= 0.236 जिसे प्रतिशत में 23.6% माना गया।

उपरोक्त समस्त प्रतिशतों का प्रयोग शेयर मार्केट में शेयर चार्ट के दौरान किया जाता है। इस प्रकार, फिबोनाची संख्याओं के माध्यम से शेयर मार्केट में रीट्रेसमेंट स्तर को देखने के दौरान इनका प्रयोग किया जाता है, जोकि फिबोनोची संख्याओं के गणितीय गुणों को प्रदर्शित करता है।

फिबोनाची संख्याएं अनंत प्रकार की नंबर सीरीज हैं, जोकि कभी खत्म नहीं होती हैं। फिबोनाची संख्याओं को आपने आम बोलचाल में कुछ इस तरह से इस्तेमाल किया होगा..जैसे विदेशों में तारीख लिखने से पहले महीने का नाम लिखा जाता है।

जैसे, वर्ल्ड ट्रेड सेंटर पर हमले की तारीख 9/11 लिखी जाती है, लेकिन अमेरिका समेत अनेक देश इसे 11/23 लिखते हैं, जोकि एक फिबोनाची संख्या है और इसी दिन को फिबोनाची संख्या दिवस के रूप में भी मनाया जाता है।

जिसका जिक्र ऊपर किया जा चुका है..1,1,2,3 आदि। इस तरह से, फिबोनाची संख्याएं आकाशगंगा के रहस्यों से लेकर, विभिन्न तरह की इमारतों के निर्माण आदि में प्रयोग में लाई जाती हैं।

फिबोनाची संख्याओं का क्या है भारतीय संबंध?

इन संख्याओं को इटली के जाने माने गणितज्ञ फिबानोची के नाम से जाना जाता है। लेकिन इन फिबानोची संख्याओं का आधार भारत से जुड़ा रहा है।

जिसकी जानकारी खुद फिबानोची ने दी थी, उनका कहना था कि जब वह अपने पिता के साथ बाहर देशों की यात्राओं पर जाया करते थे, तब उन्हें भारतीय लोगों से ही हिंदू अरेबिक संख्याओं के बारे में पता चला था।

इसका जिक्र उन्होंने कई बार अपने लेखों में किया है कि भारत की संख्या पद्वति की मदद से ही उन्होंने इन फेबोनाची संख्याओं का विस्तार किया है या प्रयोग में लाया है। साथ ही उन्होंने सम्पूर्ण दुनिया के लिए कैलकुलेशन के आसन तरीकों का भी इजाद किया है, यही कारण है कि वह दुनिया के महान गणितज्ञों में से एक कहे जाते हैं।

ऐसे में फेबोनाची जब भारतीय व्यापारियों के संपर्क में आए, तब उन्हें ज्ञात हुआ कि हिंदू अरेबिक संख्याएं कितनी फायदेमंद हैं, तब जाकर फिबोनाची ने अपनी किताब लिबर अबाची में फिबोनाची संख्याओं का विस्तारपूर्वक वर्णन किया।

इसी में उन्होंने बताया कि ये फिबोनाची संख्याएं भारतीय गणितज्ञों की खोज है, जिसे उन्होंने केवल दुबारा अपनी किताब में लिख दिया है। दिबोनाची कहते हैं कि…

“मैंने गणित के समस्त सिद्धांतों को भारतीय तकनीक के आधार पर लिखा है। इन्हीं में फिबोनाची संख्याएं भी मौजूद हैं, जिनको मैंने पूर्णतया भारतीय गणितीय पद्धति से लिया है”

इस प्रकार, फिबोनाची संख्याओं की खोज भारतीय गणितज्ञों ने की है। जिसे फिर बाद में फिबोनाची ने संग्रहित करके दुनिया के समक्ष प्रस्तुत किया।

इन संख्याओं को 200सदी के दौरान आचार्य पिंगल ने, 6वी सदी के दौरान आचार्य विरहंका ने, वर्ष 1135 में आचार्य गोपाल और वर्ष 1150 में हेमचंद्र ने अपनी गणित की पुस्तकों में फिबोनाची से पहले ही उल्लेखित कर दिया था।

जिन्हें हेमचंद ने हेमचंद श्रेणी का नाम भी दिया था। साथ ही भारतीय इतिहास पर नजर डालें तो आचार्य पिंगल ने फेबोनाची संख्याओं का सूत्रपात किया था, जोकि आचार्य पाणिनि के छोटे भाई थे।

जिन्होंने फिबोनाची संख्याओं के संदर्भ में बताया था कि तीसरी संख्या पहली दो संख्याओं का योग है, जिसे छंद सूत्रम के नाम से जाना जाता है। इसे आगे चलकर पश्चिमी देशों में इस तरह से प्रदर्शित किया गया…

F (n) = F (n+1) + F (n+2)

उपरोक्त बातों से ये निष्कर्ष निकलता है कि फिबोनाची संख्याएं भारतीय गणितज्ञों की ही देन है, जिन्हें भी उसी तरह भुला दिया गया।

जैसे वर्तमान में अनेक वैज्ञानिक रहस्यों और खोजों को आधुनिक समाज की देन माना जाता है, लेकिन वह सब भारतीय पृष्ठभूमि से जुड़े रहे हैं, ठीक उसी तरह से फिबोनाची संख्याएं भी भारतीय लोगों ने ही खोजी, जिनको इटली के गणितज्ञ फिबोनाची के आविष्कार के तौर पर जाना जाने लगा।

अंशिका जौहरी

मेरा नाम अंशिका जौहरी है और मैंने पत्रकारिता में स्नातकोत्तर किया है। मुझे सामाजिक चेतना से जुड़े मुद्दों पर बेबाकी से लिखना और बोलना पसंद है।

पुनरावृत्ति संबंध

गणित में, पुनरावृत्ति सम्बन्ध (recurrence relation) उस समीकरण को कहते हैं जो किसी अनुक्रम के आरम्भ के एक या कुछ पदों को बताने के बाद शेष पदों को प्रतिवर्ती ढंग से से परिभाषित करता है। अन्तर समीकरण (difference equation) भी एक विशेष प्रकार का पुनरावृत्ति सम्बन्ध ही है। .

पुनरावृत्ति संबंध

गणित में, पुनरावृत्ति सम्बन्ध (recurrence relation) उस समीकरण को कहते हैं जो किसी अनुक्रम के आरम्भ के एक या कुछ पदों को बताने के बाद शेष पदों को प्रतिवर्ती ढंग से से परिभाषित करता है। अन्तर समीकरण (difference equation) भी एक विशेष प्रकार का पुनरावृत्ति सम्बन्ध ही है। .

प्रतिवर्तन

प्रकृति में प्रतिवर्तन प्रतिवर्तन (Recursion) का सामान्य अर्थ है - किसी वस्तु या कार्य का बार-बार उसी रूप में दोहराया जाना। अनेकों विधाओं में इस शब्द का प्रयोग होता है और उनमें इसके भिन्न-भिन्न अर्थ और परिभाषाएँ हैं। उदाहरण के लिए, गणित एवं कम्प्यूटर विज्ञान में जब किसी फलन की परिभाषा में उसी फलन का उपयोग हो तो इसे प्रतिवर्तन कहा जाता है। प्रतिवर्तन का सर्वाधिक उपयोग गणित में ही होता है। गणित तथा तथा संगणक विज्ञान के अतिरिक्त भाषाविज्ञान, तर्कशास्त्र, दर्शनशास्त्र, जीवविज्ञान, तथा कला में भी विविध रूपों में प्रतिवर्तन देखा जा सकता है।; प्रतिवर्तन के कुछ सामान्य उदाहरण.

प्राकृतिक संख्या

प्राकृतिक संख्याओं से गणना की सकती है। उदाहरण: (ऊपर से नीचे की ओर) एक सेब, दो सेब, तीन सेब. गणित में 1,2,3.

समीकरण

---- समीकरण (equation) प्रतीकों की सहायता से व्यक्त किया गया एक गणितीय कथन है जो दो वस्तुओं को समान अथवा तुल्य बताता है। यह कहना अतिशयोक्ति नहीं होगी कि आधुनिक गणित में समीकरण सर्वाधिक महत्वपूर्ण विषय है। आधुनिक विज्ञान एवं तकनीकी में विभिन्न घटनाओं (फेनामेना) एवं प्रक्रियाओं का गणितीय मॉडल बनाने में समीकरण ही आधारका काम करने हैं। समीकरण लिखने में समता चिन्ह का प्रयोग किया जाता है। यथा- समीकरण प्राय: दो या दो से अधिक व्यंजकों (expressions) की समानता को दर्शाने के लिये प्रयुक्त होते हैं। किसी समीकरण में एक या एक से अधिक चर राशि (यां) (variables) होती हैं। चर राशि के जिस मान के लिये समीकरण के दोनो पक्ष बराबर हो जाते हैं, वह/वे मान समीकरण का हल या समीकरण का मूल (roots of the equation) कहलाता/कहलाते है। ऐसा समीकरण जो चर राशि के सभी मानों के लिये संतुष्ट होता है, उसे सर्वसमिका (identity) कहते हैं। जैसे - एक सर्वसमिका है। जबकि एक समीकरण है जिसका मूल हैं x.

हेमचन्द्र श्रेणी

वर्गों सहित खपरैल, जिसकी भुजाएं लंबाई में क्रमिक फाइबोनैचि संख्याएं हैं युपाना ("गणन यंत्र" के लिए क्वेचुआ) एक कैलकुलेटर है, जिसका उपयोग इन्कास ने किया. शोधकर्ताओं का मानना है कि प्रति क्षेत्र आवश्यक कणों की संख्या को कम करने के लिए परिकलन फाइबोनैचि संख्याओं पर आधारित थे.0 फाइबोनैचि खपरैल में वर्गों के विपरीत कोनों को जोड़ने के लिए चाप के चित्रण द्वारा तैयार फाइबोनैचि सर्पिल घुमाव; इसमें 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 और 34 आकार के वर्गों का उपयोग हुआ है; देखें स्वर्णिम सर्पिल गणित में संख्याओं का निम्नलिखित अनुक्रम हेमचंद्र श्रेणी या फिबोनाची श्रेणी (Fibonacci number) कहलाता हैं: परिभाषा के अनुसार, पहली दो हेमचंद्र संख्याएँ 0 और 1 हैं। इसके बाद आने वाली प्रत्येक संख्या पिछले दो संख्याओं का योग है। कुछ लोग आरंभिक 0 को छोड़ देते हैं, जिसकी जगह दो 1 के साथ अनुक्रम की शुरूआत की जाती है। गणितीय सन्दर्भ में, फिबोनाची संख्या के F n अनुक्रम को आवर्तन संबंध द्वारा दर्शाया जा सकता है- तथा, अंगूठाकार फिबोनाची अनुक्रम का नाम पीसा के लियोनार्डो फिबोनाची के नाम पर रखा गया, जो फाइबोनैचि (फिलियस बोनैचियो का संक्षिप्त रूप, "बोनैचियो के बेटे") के नाम से जाने जाते थे। फाइबोनैचि द्वारा लिखित 1202 की पुस्तक लिबर अबेकी ने पश्चिम यूरोपीय गणित में इस अनुक्रम को प्रवर्तित किया, हालांकि पहले ही भारतीय गणित में इस अनुक्रम का वर्णन किया गया है.

पुणे में आर्यभट की मूर्ति ४७६-५५० गणित ऐसी विद्याओं का समूह है जो संख्याओं, मात्राओं, परिमाणों, रूपों और उनके आपसी रिश्तों, गुण, स्वभाव इत्यादि का अध्ययन करती हैं। गणित एक अमूर्त या निराकार (abstract) और निगमनात्मक प्रणाली है। गणित की कई शाखाएँ हैं: अंकगणित, रेखागणित, त्रिकोणमिति, सांख्यिकी, बीजगणित, कलन, इत्यादि। गणित में अभ्यस्त व्यक्ति या खोज करने वाले वैज्ञानिक को गणितज्ञ कहते हैं। बीसवीं शताब्दी के प्रख्यात ब्रिटिश गणितज्ञ और दार्शनिक बर्टेंड रसेल के अनुसार ‘‘गणित को एक ऐसे विषय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें हम जानते ही नहीं कि हम क्या कह रहे हैं, न ही हमें यह पता होता है कि जो हम कह रहे हैं वह सत्य भी है या नहीं।’’ गणित कुछ अमूर्त धारणाओं एवं नियमों का संकलन मात्र ही नहीं है, बल्कि दैनंदिन जीवन का मूलाधार है। .

क्रमगुणित

गणित में किसी अऋणात्मक पूर्णांक n का क्रमगुणित या 'फैक्टोरियल' (factorial) वह संख्या है जो उस पूर्णांक n तथा उससे छोटे सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुननफल के बराबर होता है। इसे n!, से निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिये, 0! का मान is 1 होता है। गणित के अनेकों क्षेत्रों में क्रमगुणित का उपयोग करना पड़ता है, जिनमें से क्रमचय संचय (combinatorics), बीजगणित तथा गणितीय विश्लेषण (mathematical analysis) प्रमुख हैं। .

यहां पुनर्निर्देश करता है:

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